Jetones de cuenta o cómo sumar antes del álgebra.

 

Jetones de cuenta o cómo sumar antes del álgebra. Artículo publicado en: Eco Filatélico y Numismático 59 (1107) (Abril, 2003): pp. 46-47.

 

 

 

Miguel Ibáñez Artica

 

 

Las operaciones matemáticas más simples como la suma, que nos resultan tan fáciles y cotidianas utilizando el álgebra, eran especialmente complejas cuando las cantidades se escribían en números romanos.

 

Figura 1.- a: Jetones de Nuremberg mostrando la figura de una persona realizando cálculos con jetones; b: Representación de un personaje realizando cálculos mediante jetones sobre una mesa (Sánchez de Arévalo, 1491: Libro primero, capítulo XL: Aritmética y Geometría); c: Jetones o “contadores” para el servicio de la administración contable del príncipe Felipe (futuro Felipe II de España).

 

Para realizar estas operaciones matemáticas, el sistema utilizado era similar al de un ábaco (actualmente usado en Oriente en forma rutinaria), de forma  que para expresar una determinada cantidad  se colocaban fichas (denominadas jetones), sobre un tablero especial, marcado con varias líneas horizontales, desde la más inferior donde se contabilizaban las unidades, hasta la superior donde se agrupaban los millares.

Pongamos un ejemplo (ver la figura 2): deseamos sumar las cantidades MCCCXXII (1322) y MDCCCXVI (1816). Colocaremos la primera cantidad, de forma que pondremos un jetón en la fila de los millares (1 x M), tres en la de las centenas (3 x C), dos en las decenas (2 x X) y dos en las unidades (2 x I) (Fig. 2a). De la misma forma, seguidamente colocaremos los jetones que expresen la segunda cantidad mencionada (Fig. 2a’). A continuación juntaremos los jetones de cada fila (Fig. 2b), de forma que cinco piezas de la fila inferior de las unidades se agruparán para formar una ficha que se colocará en la fila superior (V), dos fichas en esta última fila se agruparán para colocar una ficha en la fila de las decenas (2 x 5= 10), cinco jetones de la fila de las decenas se subirán como una ficha a la fila superior (L), dos de esta fila serán un jetón en la superior  (2 x 50= 100), y así sucesivamente.

Figura 2.- Suma con jetones.

 

De esta forma, tal como se señala en la figura, obtendremos tres jetones en la fila inferior de las unidades (3 x 1), uno en la fila superior (1 x 5), tres en la fila de las decenas (3 x 10), uno en las centenas (1 x 100) y tres en los millares (3 x 1000), de forma que podremos leer la cifra MMMCXXXVIII, es decir 3128 que es la suma de las cantidades señaladas (Fig. 2c).

De forma similar, podían hacerse otras operaciones aritméticas como restas, multiplicaciones o incluso divisiones. Uno de los primeros libros impresos donde se enseña a operar con jetones (contadores), es el Tratado de Matemáticas de Juan Pérez de Moya (Alcalá, 1573), donde en su capítulo XV del libro segundo, titulado “Arithmetica Practica”, se describen y explican los procedimientos utilizados en esta época.

Durante varios siglos (desde el s. XIII al XIX), se han acuñado miles de jetones diferentes, utilizados para realizar la contabilidad cotidiana en las casas reales, palacios de los nobles, clérigos y monasterios, recaudadores de impuestos, banqueros y comerciantes, y estos objetos con apariencia de moneda (en muchos casos se hacían pasar como tales) presentan los más variados motivos y leyendas.

Figura 3.- a: Tapete con marcas de cifras para colocar sobre la mesa; b: mesa con las marcas trazadas para realizar los cálculos con jetones (Frauenhausmuseum, Estrasburgo, Francia).

 

 

En la Península Ibérica se introdujeron en época temprana en Navarra, debido a la influencia francesa, y así por ejemplo en un jetón navarro de la primera mitad del s. XV figura el texto “diner de cont”, es decir “dinero de cuenta”, y en otro, probablemente de finales del S. XV, se puede leer la leyenda: “Qui bien jetera, buen compto trovara”, que puede traducirse como “quien sea hábil en las operaciones de mover los jetones en la mesa de cálculo, conseguirá realizar buenas cuentas”  

A pesar de que la numeración arábica y el álgebra se introdujeron en la Edad Media⁽¹⁾, durante muchos siglos se siguió utilizando la numeración con letras romanas, de forma que era necesario el empleo de fichas o jetones en las operaciones de cálculo. Durante la Edad Moderna, la ciudad alemana de Nuremberg, se especializó en acuñar jetones utilizados en todos los estados europeos, en algunos de ellos puede verse la figura de un contable sobre una mesa, haciendo sus cálculos matemáticos con ayuda de jetones (Fig. 1a).

 

(1)   Una de las figuras más importantes en la Historia de las Matemáticas, es el árabe Al-Khwarizmi (780-850 d.C.), autor de la obra “Al-jabr wa’l muqäbala”  donde aparece por vez primera el término “al-jabr” que significa “restauración” del equilibrio, y del que deriva la palabra “álgebra”. Los musulmanes hicieron confluir los conocimientos de los griegos con los avances matemáticos experimentados en la India (el cero y la numeración que denominamos arábiga, proceden en realidad de la India)  de forma que  durante gran parte de la Edad Media el lenguaje internacional de las matemáticas fue el árabe.