Jetones de cuenta
o cómo sumar antes del álgebra. Artículo publicado en: Eco Filatélico y Numismático 59
(1107) (Abril, 2003): pp. 46-47.
Miguel Ibáñez Artica
Las
operaciones matemáticas más simples como la suma, que nos resultan tan fáciles
y cotidianas utilizando el álgebra, eran especialmente complejas cuando las
cantidades se escribían en números romanos.
Figura 1.- a: Jetones de
Nuremberg mostrando la figura de una persona realizando cálculos con jetones; b: Representación
de un personaje realizando
cálculos mediante jetones sobre una mesa (Sánchez de Arévalo, 1491: Libro
primero, capítulo XL: Aritmética y
Geometría); c: Jetones o “contadores” para el
servicio de la administración contable del príncipe Felipe (futuro Felipe II de
España).
Para
realizar estas operaciones matemáticas, el sistema utilizado era similar al de
un ábaco (actualmente usado en Oriente en forma rutinaria), de forma que para expresar una determinada cantidad se colocaban fichas (denominadas jetones),
sobre un tablero especial, marcado con varias líneas horizontales, desde la más
inferior donde se contabilizaban las unidades, hasta la superior donde se
agrupaban los millares.
Pongamos
un ejemplo (ver la figura 2): deseamos sumar las cantidades MCCCXXII
(1322) y MDCCCXVI (1816). Colocaremos la primera cantidad, de forma que
pondremos un jetón en la fila de los millares (1 x M), tres en la de las
centenas (3 x C), dos en las decenas (2 x X) y dos en las unidades (2 x I) (Fig. 2a). De la misma forma,
seguidamente colocaremos los jetones que expresen la segunda cantidad
mencionada (Fig. 2a’). A continuación
juntaremos los jetones de cada fila (Fig.
2b), de forma que cinco piezas de la fila inferior de las unidades se agruparán
para formar una ficha que se colocará en la fila superior (V), dos fichas en
esta última fila se agruparán para colocar una ficha en la fila de las decenas
(2 x 5= 10), cinco jetones de la fila de las decenas se subirán como una ficha
a la fila superior (L), dos de esta fila serán un jetón en la superior (2 x 50= 100), y así sucesivamente.
Figura 2.- Suma con jetones.
De
esta forma, tal como se señala en la figura, obtendremos tres jetones en la
fila inferior de las unidades (3 x 1), uno en la fila superior (1 x 5), tres en
la fila de las decenas (3 x 10), uno en las centenas (1 x 100) y tres en los
millares (3 x 1000), de forma que podremos leer la cifra MMMCXXXVIII, es decir
3128 que es la suma de las cantidades señaladas (Fig. 2c).
De
forma similar, podían hacerse otras operaciones aritméticas como restas,
multiplicaciones o incluso divisiones. Uno de los primeros libros impresos
donde se enseña a operar con jetones (contadores), es el Tratado de
Matemáticas de Juan Pérez de Moya (Alcalá, 1573), donde en su capítulo XV
del libro segundo, titulado “Arithmetica Practica”, se describen y
explican los procedimientos utilizados en esta época.
Durante
varios siglos (desde el s. XIII al XIX), se han acuñado miles de jetones
diferentes, utilizados para realizar la contabilidad cotidiana en las casas
reales, palacios de los nobles, clérigos y monasterios, recaudadores de
impuestos, banqueros y comerciantes, y estos objetos con apariencia de moneda
(en muchos casos se hacían pasar como tales) presentan los más variados motivos
y leyendas.
Figura
3.- a: Tapete con marcas de
cifras para colocar sobre la mesa; b: mesa con las marcas trazadas para
realizar los cálculos con jetones (Frauenhausmuseum, Estrasburgo, Francia).
En
la Península Ibérica se introdujeron en época temprana en Navarra, debido a la
influencia francesa, y así por ejemplo en un jetón navarro de la primera mitad
del s. XV figura el texto “diner de cont”,
es decir “dinero de cuenta”, y en otro, probablemente de finales del S. XV, se
puede leer la leyenda: “Qui bien jetera, buen compto trovara”, que puede
traducirse como “quien sea hábil en las operaciones de mover los jetones en la
mesa de cálculo, conseguirá realizar buenas cuentas”
A
pesar de que la numeración arábica y el álgebra se introdujeron en la Edad
Media(1), durante muchos siglos se siguió utilizando la numeración
con letras romanas, de forma que era necesario el empleo de fichas o jetones en
las operaciones de cálculo. Durante la Edad Moderna, la ciudad alemana de
Nuremberg, se especializó en acuñar jetones utilizados en todos los estados
europeos, en algunos de ellos puede verse la figura de un contable sobre una
mesa, haciendo sus cálculos matemáticos con ayuda de jetones (Fig. 1a).
(1)
Una de las
figuras más importantes en la Historia de las Matemáticas, es el árabe
Al-Khwarizmi (780-850 d.C.), autor de la obra “Al-jabr wa’l muqäbala” donde aparece por vez primera el término
“al-jabr” que significa “restauración” del equilibrio, y del que deriva la
palabra “álgebra”. Los musulmanes hicieron confluir los conocimientos de los
griegos con los avances matemáticos experimentados en la India (el cero y la
numeración que denominamos arábiga, proceden en realidad de la India) de forma que
durante gran parte de la Edad Media el lenguaje internacional de las
matemáticas fue el árabe.
